三角形五心定律（三角形的五心定义及其证明）

20240908-三角形的五心定义及其证明

目录

1. 三角形的五心定义及性质
2. 五心漫谈与记忆经验
3. 三线交于一点的证明方法
4. 重心性质的证明
5. 垂心的证明

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正文

1 三角形的五心定义及性质

三角形的“五心”分别是重心、外心、内心、垂心和旁心。

一、重心

1. 定义：三角形三条中线的交点。

2. 性质：

- 重心到三角形顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1。

- 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。

二、外心

1. 定义：三角形三边垂直平分线的交点，也就是三角形外接圆的圆心。

2. 性质：

- 外心到三角形三个顶点的距离相等。

- 锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部。

三、内心

1. 定义：三角形三个内角的角平分线的交点。

2. 性质：

- 内心到三角形三边的距离相等。

- 内心是三角形内切圆的圆心。

四、垂心

1. 定义：三角形三条高的交点。

2. 性质：

- 锐角三角形的垂心在三角形内部；直角三角形的垂心是直角顶点；钝角三角形的垂心在三角形外部。

五、旁心

1. 定义：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点。

2. 性质：

- 旁心到三角形三边所在直线的距离相等。

- 一个三角形有三个旁心。

2 五心漫谈与记忆经验

内心、重心一定在三角形内部。旁心一定在三角形外部；外心、垂心在三角形内部或外部都有可能。

外心到三角形三个顶点距离相等，肯定在三条边的中垂线上(∵中垂线上任意一点到线段两端的距离相等)。 通过证明相邻两个直角三角形全等，可以证明内心到三角形三条边的距离都相等。 对于密度均匀的物体，重心(即重量中心)就是面积中心；中线把三角形分成面积(重量)相同的两半；三条中线的交点就是重心。 旁心的证明与内心类似，两者都是角平分线的交点。

3 三线交于一点的证明方法

平面几何课本上没有三条直线交于一点的证明方法。一般方法是将此命题转化成一个等价命题来证明。例如：要证明三角形的三条中线交于一点。我们先作出两条中线得到交点，连接剩下的那个三角形顶点和此交点作出一条直线，然后证明这条线也是中线即可。这就等于证明了三角形的三条中线交于一点。

用解析几何方法容易证明三线交于一点。联立3个直线方程，如果方程组有唯一解，则三线交于一点。解即为交点坐标。

4 重心性质的证明

内心、外心、旁心通过三角形全等或等边三角形性质不难证明三线交于一点。

我们重点证明重心的存在与性质。

题1 证明：三角形的三条中线交于一点, 称为重心。

证：

原题的等价命题：已知CD，BE是中线，交点为O，

AO与BC相交于点F，求证BF=FC。

∵AD:AB=AE:AC=1:2, (1) ∴DE//BC. (2)

由(2)得△ADG≌△ABF , (3) △ADE≌△ABC. (4)

由(1)(3)得DG:BF=1:2 ,(5) 由(1)(4)得DE:BC=1:2 .(6)

由(2)得 △ODG≌△OCF, (7) △ODE≌△OBC .(8)

由(6)和(8)得DO:OC=1:2 ,(9) 由(7)和(9)得DG:FC=1:2 (10)

根据(5)(10)得 BF=FC。得证☐

题 2 证明：▲顶点到重心距离：重心到中点距离=2：1。

证：

∵AD:AB=AE:AC=1:2, (1) ∴DE//BC. (2)

由(2)得△ADG≌△ABF , (3) △ADE≌△ABC. (4)

由(1)(3)得AG:AF=1:2 ,(5) 由(1)(4)得DE:BC=1:2 .(6)

由(2)得 △ODG≌△OCF, (7) △ODE≌△OBC .(8)

由(6)和(8)得DO:OC=1:2 ,(9) 由(7)和(9)得OG:OF=1:2 (10)

根据(5)(10)得 AO:OF=2:1。得证☐

题 3 证明：▲顶点到重心连线构成的3个▲面积相等。

证：即证S△AOB=S△AOC=S△BOC。

作OH⟂BC, AK⟂BC, 于是OH//AK。

已知 AO:OF=2:1, 又OH//AK，于是OH:AK=OF:AF=1:3.

S△BOC : S△ABC = 1 : 3, 即S△BOC=1/3 S△ABC.

同理可证S△AOB=S△AOC=1/3 S△ABC。得证☐

5 垂心的证明

题4 证明：三角形的三条高交于一点, 称为垂心。

证：用解析几何方法。

设点的坐标 B(0,0),A(a,b),C(c,0), 已知CD⟂AB, AE⟂BC,

于是 AB: y=(b/a)x, BC: y=0, AC: y=b/(a-c)(x-c), KCD*KAB=-1，

于是 CD: y=(-a/b)(x-c) ,(1) AE: x=a,(2)

联立方程(1)(2)解得: x=a, y=-a(a-c)/b,

即交点坐标O(a, -a(a-c)/b )

BF: y=-(a-c)/bx, KBF=-(a-c)/b,

而KAC=b/(a-c), 于是KAC*KBF=-1.

因此AC⟂BF. 得证☐

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